Polisemia de los símbolos alfanuméricos: un ejemplo

En un curso de estadística que actualmente imparto a estudiantes de licenciatura (semestre julio-diciembre 2021), comenté sobre la importancia de atender al significado de los símbolos, como un elemento importante para el proceso de entendimiento. Aprender matemáticas con entendimiento (Hiebert, et al., 1997) requiere, entre otras cosas, de conocer y ser consciente de los distintos significados que pueden asociarse con un símbolo o grupo de símbolos. En este post, describiré algunos de los posibles significados que se pueden asignar a las expresiones algebraicas de la siguiente igualdad, correspondiente al tema de esperanza condicional de una variable aleatoria:

Si el valor de , los valores de y los de las probabilidades están determinados, entonces el símbolo representa un número real. Por otra parte, en caso de que el valor de esté indeterminado, la misma expresión puede interpretarse como una función que depende de , con dominio e imagen en el conjunto de los números reales.

Ahora bien, la expresión puede pensarse como un número real, o como el procedimiento para obtener ese número real, en caso de que las literales y , y las probabilidades asociadas tengan valores determinados. Si el valor de está indeterminado, la misma expresión puede interpretarse como la regla de correspondencia de la función de variable real .

Saber lo anterior y ser capaz de asociarlo, de formas relevantes, con los significados propios de conceptos tales como variable aleatoria, esperanza matemática y probabilidad condicional, en este caso particular, es lo que desde mi conceptualización del aprendizaje matemático con entendimiento, en términos de conexiones, permite al estudiante desarrollar niveles progresivos de comprensión conceptual y procedimental en matemáticas.

Así que, dado que la esperanza de una variable aleatoria puede interpretarse como un promedio, que es a su vez un número real representativo, o que actúa como representante, del conjunto de valores de dicha variable aleatoria, y que las probabilidades condicionales son el recálculo de las probabilidades de ocurrencia de la variable aleatoria, cuando obtenemos información adicional del fenómeno o restringimos el estudio, con base en el valor de otra variable aleatoria; entonces sabremos que el símbolo , es un número real que actúa como representante del conjunto de valores que toma la variable aleatoria , en caso de que la variable aleatoria , tome el valor .

Un ejemplo concreto que podría aclarar las ideas generales, previamente descritas, es el siguiente: imagine que es el docente de un grupo de estudiantes de sexto grado de primaria en México (donde, en general, un mismo profesor enseña todas las asignaturas). A continuación se presenta una tabla con las calificaciones del grupo:

Considere el experimento aleatorio consistente en seleccionar, al azar, un estudiante del grupo. Sea la variable aleatoria aquella que me indica la calificación obtenida por la persona seleccionada en la asignatura de matemáticas, y la variable aleatoria , aquella que toma el valor 0 cuando la persona seleccionada es hombre y 1 cuando la persona seleccionada es mujer.

En este caso, el símbolo , representa el promedio de calificaciones en la asignatura de matemáticas que obtuvieron las estudiantes de este grupo. El valor específico de tal promedio es 8.5, y tal número tiene la función de darnos una idea de la magnitud de los valores de las calificaciones obtenidas por las estudiantes de este grupo en la asignatura de matemáticas. Esta interpretación me permitió calcular el valor de , simplemente al sumar los números 7, 9, 9, 9, 8, 10, 9, 7, 10, 7, y dividir el resultado por 10, con la seguridad de que el valor así obtenido será el mismo que al implementar el procedimiento especificado en la expresión:

El símbolo sigma mayúscula en la formula anterior indica que se debe efectuar una suma. Por otra parte, la letra minúscula debajo de la sigma indica que el número de sumandos depende de los valores que tome la variable aleatoria ; es decir, las posibles calificaciones que se obtuvieron en matemáticas. En este caso, los posibles valores de son 7, 8, 9 y 10, así que la suma que se nos indica llevar a cabo tendrá cuatro sumandos.

Ahora bien cada sumando es un número de la forma . Como ya sabemos el significado de la letra minúscula, sólo hace falta decodificar el significado del símbolo , el cuál no es otra cosa que un número entre 0 y 1, que me indica la probabilidad de que la variable aleatoria , tome el valor , considerando únicamente los casos en que el valor de la variable aleatoria es fijo, para fines de este problema, e igual a .

Consecuentemente, las expresiones , , , y son la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar, considerando únicamente a las mujeres, haya obtenido, respectivamente, una calificación de 7, 8, 9 o 10 en la asignatura de matemáticas. Los valores de tales probabilidades son los siguientes.

Entonces el número que representa la expresión , se obtiene de la siguiente manera:

La característica de poder asociar diferentes significados a una misma expresión simbólica, en diferentes contextos o bajo determinadas condiciones, se denomina como polisemia; palabra compuesta por las raíces poli, que significa muchos o múltiples; y sêma (σῆμα), significado.

La polisemia de las expresiones simbólicas, en general, y de las expresiones algebraicas en particular, constituye una fortaleza de los registros simbólicos en matemáticas, ya que permite comunicar ideas de una manera precisa y altamente sintética; pero a la vez es fuente de dificultades en el proceso de aprendizaje de la disciplina, como se ha evidenciado en algunas investigaciones que han identificado a esta característica como el origen de algunas confusiones que muestran estudiantes, de diversos niveles educativos, (Priss, 2018).

Referencias

Abbagnano, N. (1993). Diccionario de filosofía (Décima edición). México: Fondo de Cultura Económica.

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A., & Human, P. (1997). Making sense. Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.

Priss, U. (2018). A semiotic-conceptual analysis of conceptual development in learning mathematics. In N. Presmeg, L. Radford, W.-M. Roth, and G. Kadunz (Eds.), Signs of Signification. Semiotics in Mathematics Education Research (pp. 172-188). Cham: Springer.

Secretaría de Educación Pública [SEP] (2017). Aprendizajes claves para la educación integral. Educación primaria 6°. Plan y programas de estudio, orientaciones didácticas y sugerencias de evaluación. México: SEP. Recuperado el 20 de octubre de 2021 de https://www.planyprogramasdestudio.sep.gob.mx/descargables/biblioteca/primaria/6grado/1LpM-Primaria6grado_Digital.pdf

Sun (2021, junio 26). ¿Buscas un nombre para tu hija o hijo? Estos son los más comunes en México. Informador.MX. Recuperado el 20 de octubre de 2021 de https://www.informador.mx/mexico/Cuales-son-los-nombres-mas-comunes-en-Mexico-El-Inegi-responde-20210626-0027.html

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