Entendimiento matemático

Promover el entendimiento de los estudiantes se ha considerado como uno de los objetivos fundamentales de la educación escolarizada (NCTM, 2000). Entender es importante porque si entendemos una idea, concepto o procedimiento, podemos utilizarlo de forma flexible para resolver problemas y aprender cosas nuevas . El entendimiento es una idea compleja, no es algo que se desarrolle de una vez o no, sino que es algo cambiante y en constante crecimiento. Entendemos algo si podemos ver como ese algo se relaciona con otras cosas que conocemos. Es decir, el entendimiento tiene que ver con establecer relaciones. Entre mayor sea el número de relaciones significativas que podamos establecer, habremos desarrollado un mayor nivel de entendimiento (Hiebert et al., 1997).

Entendemos en un nivel elemental el Teorema de Pitágoras si conocemos su enunciado “En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” y podemos resolver problemas en los que haya que encontrar el valor desconocido de un lado si se conocen los valores de los otros dos lados en el triángulo. Habremos desarrollado un nivel mayor de entendimiento si somos capaces de caracterizar a todos los números enteros x, y y z que satisfacen la ecuación  o si conocemos que, geométricamente, el teorema establece que al construir cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo, entonces las suma de las áreas de los cuadrados que se encuentran sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa (Barrera-Mora y Reyes-Rodriguez, 2014).

Alcanzar un nivel mayor de entendimiento del teorema requiere de capacidad para extender el resultado, por ejemplo, al establecer y justificar que la suma de las áreas de semicircunferencias, triángulos, pentágonos, o cualquier otra figura construida sobre los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa, siempre que todas estas figuras sean semejantes (Figura 1). Otro nivel de entendimiento se relaciona con determinar qué otros objetos matemáticos (matrices, por ejemplo) satisfacen ecuación pitagórica.

Figura 1. Una forma de generalizar el Teorema de Pitágoras.

Es importante destacar que las relaciones mencionadas en la definición de entendimiento deben ser estructuradas, esto es, las conexiones deben permitir profundizar en las ideas, conceptos o procedimientos. Cuando se promueve la construcción de conexiones robustas, el conocimiento se organiza en redes conceptuales que permiten extenderlo. Estas redes pueden ser imaginadas como telarañas que se van haciendo cada vez más complejas. Pero ¿cómo se construyen relaciones importantes durante el aprendizaje de las matemáticas? La respuesta es que se construyen mediante los procesos de reflexión y comunicación de ideas que se ponen en juego durante la actividad de resolver y formular problemas. Algunas variables importantes en la promoción del entendimiento matemático en el salón de clase son (i) la naturaleza de las tareas de aprendizaje, (ii) el papel del profesor, (iii) la cultura social del salón de clase, (iv) las herramientas matemáticas disponibles y (v) la accesibilidad de las matemáticas para cada estudiante (Hiebert et al., 1997).

Referencias

Barrera-Mora, F., y Reyes-Rodriguez, A. (2014). Sobre el aprendizaje con entendimiento en matemáticas. Pädi. Boletín Científico de Ciencias Básicas e ingeniería, 4. Online

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A., & Human, P. (1997). Making sense: teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.

National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.