Niveles de pensamiento geométrico

La teoría de los niveles de pensamiento geométrico, basada en la epistemología genética de Piaget, fue propuesta por el matrimonio de investigadores holandeses Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele en la década de los años cincuenta del siglo XX, y refinada por Pierre van Hiele en el libro Structure and Insight, publicado en 1986 (Pegg, 2014). En esta teoría se describe el proceso de crecimiento cognitivo de los estudiantes al aprender geometría plana, permitiendo entender por qué tienen dificultades para desarrollar ciertos procesos cognitivos, como aquellos requeridos para elaborar demostraciones.

La teoría está integrada por dos componentes principales: (i) una caracterización de las diferentes formas de razonamiento o pensamiento que llevan a cabo los estudiantes, las cuales van desde el razonamiento intuitivo hasta el razonamiento formal y abstracto, y (ii) una propuesta de instrucción que puede ayudar a los estudiantes a alcanzar un nivel de pensamiento o razonamiento superior al que poseen en un momento dado (Guillén-Soler, 2004).

En relación con el avance entre niveles, la teoría establece que el logro de una nueva etapa de pensamiento no puede llevarse a cabo a través de la enseñanza de hechos y procedimientos, sino que el profesor debe crear un escenario favorable para que los estudiantes alcancen un nivel mayor de comprensión mediante una elección adecuada de tareas que represente un reto intelectual, más que únicamente dificultades procedimentales o de cálculo (van Hiele, 1999). Los niveles de pensamiento geométrico son progresivos y jerarquizados, esto significa que no se puede alcanzar un nivel si no se ha completado el nivel previo (Fuys, Geddes y Tischler, 1988).

Cada uno de los niveles tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia red de relaciones que conectan esos símbolos; por ello, cuando existen diferencias de niveles en el proceso de comunicación entre dos personas, pueden surgir dificultades de entendimiento. Así, existen problemas para comprender las ideas geométricas, porque los profesores consideran que los estudiantes ya poseen ciertos conocimientos previos y un nivel de razonamiento que les permitirán entender nuevos conceptos; sin embargo, la realidad es que el nivel de pensamiento geométrico en el que se encuentran los estudiantes, generalmente es inferior al supuesto (Usiskin, 1982). El desarrollo de un lenguaje adecuado y los significados asociados son elementos fundamental para avanzar entre los diferentes niveles.

A continuación se explican brevemente algunas características de los niveles de pensamiento geométrico. Una descripción más amplia de estos niveles, junto con diversos ejemplos se puede revisar en el artículo de Barrera-Mora y Reyes-Rodriguez (2015).

Nivel 1: Visualización o Reconocimiento. Las figuras se reconocen por su apariencia, sin que las propiedades de éstas jueguen un papel explícito en la identificación. El proceso de razonamiento sobre formas o figuras simples se lleva a cabo mediante consideraciones visuales de estos objetos como un todo (Burger y Shaughnessy, 1986).

Nivel 2: Análisis. Las figuras se analizan con base en sus propiedades, las cuales se consideran independientes unas de otras. El proceso de razonamiento en este nivel se lleva a cabo a través de la identificación de los componentes y atributos de los objetos geométricos, con la finalidad de caracterizar clases o familias de objetos.

Nivel 3: Ordenación, clasificación o abstracción. Las propiedades de los conceptos geométricos se interrelacionan lógicamente mediante argumentos informales. Los estudiantes que se encuentran en este nivel son capaces de formular definiciones abstractas, es decir, señalar las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer una clase de figuras geométricas, además de reconocer cómo unas propiedades se derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.

Nivel 4: Deducción Formal. Se demuestran teoremas y se establecen relaciones entre teoremas. Se entiende la necesidad de demostrar resultados matemáticos.

Nivel 5: Rigor. Se tiene capacidad para analizar y comparar sistemas axiomáticos, es decir, los postulados y axiomas son objeto de análisis y escrutinio. El razonamiento en este nivel es bastante abstracto y no necesariamente involucra el uso de modelos pictóricos o concretos.

Los niveles cuentan con cinco propiedades:

• Propiedad 1. (Secuencia fija) Un estudiante no puede estar en el nivel de van Hiele n, si no ha pasado por el nivel n-1
• Propiedad 2. (Adyacencia) En cada nivel de pensamiento, lo que era intrínseco en el nivel anterior se vuelve extrínseco en el nivel actual
• Propiedad 3. (Distinción) Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia red de relaciones que conectan esos símbolos
• Propiedad 4. (Separación) Dos personas que razonan en diferentes niveles pueden tener dificultades para entenderse mutuamente
• Propiedad 5. (Logro) El proceso de aprendizaje que lleva a un entendimiento completo, es decir al siguiente nivel más alto se compone de cinco fases (Usiskin, 1982).

La propuesta de instrucción para el avance entre niveles está estructurada en cinco fases, cada una de las cuales caracteriza el escenario y las tareas de instrucción.

Fase 1: Información o indagación. Busca que el estudiante se familiarice con el dominio de trabajo. Involucra el desarrollo de discusiones acerca de los objetos de interés de cada nivel. Se realizan observaciones, se generan preguntas y se introduce vocabulario específico. Los objetivos de las actividades anteriores es que el profesor determine cuáles son los conocimientos que el estudiante posee y que el estudiante perciba cuál es el rumbo que tomará el proceso de instrucción (Crowley, 1987).

Fase 2: Orientación guiada. Los estudiantes exploran un tema de estudio a través de actividades propuestas por el profesor. Mediante el desarrollo de estas actividades, los estudiantes llevarán a cabo procesos del pensamiento matemático relevantes para cada nivel. La actividad del profesor consiste en formular preguntas que tengan una respuesta concreta, pero de forma que la búsqueda de la respuesta favorezca la reflexión y la comunicación de ideas.

Fase 3: Explicitación o explicación. El estudiante es consciente de las relaciones que existen entre las propiedades de los objetos geométricos, trata de expresarlas verbalmente o por escrito y aprende el lenguaje técnico que acompaña a la materia. A partir de sus experiencias previas, durante el desarrollo de las actividades propuestas por el profesor, los estudiantes expresan e intercambian sus puntos de vista con el objetivo de construir relaciones.

Fase 4: Orientación libre. El estudiante aprende mediante la ejecución de tareas que tienen diferentes soluciones o son de respuesta abierta. A través de la actividad matemática que desarrollan los estudiantes, se promueve la construcción de redes complejas de relaciones entre conceptos y procesos matemáticos relevantes para cada nivel. Las tareas permiten al estudiante explorar, formular conjeturas y justificar relaciones, en esta fase las conexiones y relaciones entre los objetos matemáticos empiezan a ser explícitas para los estudiantes.

Fase 5: Integración. El estudiante resume todo lo que ha aprendido acerca del tema, entonces reflexiona sobre sus propias acciones y obtiene una visión general de la nueva red de relaciones que se construyó durante el trabajo con las actividades de instrucción. El papel de profesor en esta fase consiste en explicitar relaciones o procesos que los estudiantes aprendieron.

Referencias

Barrera-Mora, F., y Reyes-Rodriguez, A. (2015). La teoría de van Hiele: niveles de pensamiento geométrico. Pädi. Online

Burger, W. F. & Shaughnessy, J. M. (1986). Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17(1), 31-48.

Crowley, M.L. (1987). The van Hiele model of the development of geometric thought. En M. M. Lindquist (Ed.), Learning and teaching geometry, K-12 (pp. 1-16). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Fuys, D., Geddes, D. &Tischler, R. (1988).The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education Monograph Number 3. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Guillén-Soler, G. (2004). El modelo de van Hiele aplicado a la geometría de los sólidos: describir, clasificar, definir y demostrar como componentes de la actividad matemática. Educación Matemática, 16(3), 103-125. Online

Peg, J. (2014). The van Hiele theory. En S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 613-615). Dordrecht: Springer.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education.

van Hiele, P. M. (1999). Developing geometric thinking through activities that begin with play. Teaching Children Mathematics, 6, 310-316.